Bij de webmail zit je rechtstreeks op de server. Dit is wat er van jou op de server staat. Meer kan ik hier ook niet van maken helaas.
Het kan goed zijn dat outlook hierin afwijkt door overblijfselen van (oude) POP3 accounts. Voor zover ik weet kun je dit emailadres/deze mappen niet omzetten naar IMAP, maar moet je jouw emailadres/mappen volledig opnieuw instellen met de IMAP instellingen. Mogelijk kun je de mappen vervolgens wel kopiëren, maar @Bert of @Steefb kan je hier ongetwijfeld meer over vertellen.